2 滚剃刀齿形制造方法

3 滚剃刀渐开线蜗杆法截面齿形的近似造型

图1 直线造型误差

图2 圆弧造型误差

1. 直线拟合法
   用直线拟合滚剃刀渐开线蜗杆法截面齿形曲线显然可降低砂轮修整难度，但由此产生的近似造型误差能否保证要求的齿形精度则需通过计算予以验证。为使直线与滚剃刀渐开线蜗杆法截面齿形曲线的拟合达到最优状态，它们之间必须具有两个交点，由此产生的三个拟合误差极值如图1所示。e₁、e₃分别为齿根、齿顶的最大拟合误差，e₂为齿中部某点的最大拟合误差。为实现最优拟合，应使三个拟合误差的绝对值相等，即e₁=-e₂=e₃，最大拟合误差∆e=max{|e₁-e₂|，|e₃-e₂|}。可通过优化计算实现上述要求。
   拟合时，首先设直线方程为x=kz+c，确定e₁、e₂、e₃的计算公式后，建立目标函数F=|e₁+e₂|+|e₂+e₃|，设计变量为直线斜率k 和常数c，可通过两个交点的不断移动变化来反映。当F 趋近于0时，即达到最优拟合，根据交点位置可求出k、c 值，从而确定直线位置。
2. 圆弧拟合法
   图2 所示为用圆弧拟合滚剃刀渐开线蜗杆法截面齿形曲线。渐开线蜗杆法截面齿形曲线仍具有渐开线性质，即距基圆越近的点其曲率半径越小，距基圆越远的点其曲率半径越大。在图2 所示法截面齿形中，a点代表齿根，接近基圆，b 点代表齿顶，远离基圆，a点到b点的曲率半径由小变大。由于圆弧上各点的曲率半径相同，因此若选取一个曲率半径大于a点、小于b点的圆弧与法截面齿形曲线拟合造型，会出现三个交点和四个拟合极值误差e₁、e₂、e₃、e₄。为达到最优拟合，提高造型精度，需不断改变三个交点的位置，使e₁=-e₂=e₃=-e₄，并据此进行优化计算。
   拟合时，设拟合圆弧方程为(Z-Z_c)²+(X-X_c)²=R²，则拟合极值误差为 e_i=R-[(Z_i-Z_c)²+(X₁-X_c)²]^½     (i=1，2，3，4)式中：R——拟合圆弧半径
   Z_c，X_c——拟合圆弧的圆心坐标
   Z₁，X₁——滚剃刀渐开线蜗杆法截面曲线拟合极值误差处的坐标
   建立优化目标函数为F=|e₁+e₂|+|e₂+e₃|+|e₃+e₄|+|e₁+e₄|，设计变量为Z_c、X_c、R，优化计算时反映为三个交点的不断移动变化。当F 趋近于0时，即达到最优拟合，求得最大拟合误差∆e=max{|e₁-e₂|，|e₃-e₂|，|e₁-e#p#分页标题#e#₄|，|e₃-e₄|}。根据最优拟合状态下三个交点的位置，即可求出Z_c、X_c、R 值，从而确定拟合圆弧的位置和半径。
   

   图3 双曲线拟合

   图4 双曲线造型误差

3. 双曲线拟合法
   一条与回转轴距离为H、倾斜角为a的直线绕回转轴旋转，可得到一个方程为x²/H²+y²/H²-z²/(H/tana)²=1 的回转双曲面。沿双曲面回转轴线任意方向剖开均可得到双曲线，按该直线轨迹修整砂轮可得到轴截面为双曲线的砂轮。图3所示为用双曲线拟合滚剃刀渐开线蜗杆的法截面齿形曲线。双曲线是绕砂轮轴旋转获得的，其坐标系为O'-Z'X'，线段a'b'为双曲线上的一段。O-ZX 为滚剃刀法截面齿形曲线所在坐标系，ab 为滚剃刀的法截面齿形曲线，a表示齿根，b表示齿顶。两曲线拟合时，需对O'-Z'X'坐标系进行坐标变换，经平移、旋转后与OZX坐标系重和，并使两曲线的坐标系相同。
   由于滚剃刀法截面齿形曲线的曲率半径从a点到b点逐渐变大，根据曲率半径公式求得双曲线曲率半径从a'点到b'点逐渐变小，因此应选择合适参数使双曲线上a'点区域的曲率半径大于滚剃刀蜗杆齿形上a 点区域的曲率半径，双曲线上b'点区域的曲率半径小于滚剃刀蜗杆齿形上b 点区域的曲率半径。拟合时，会出现三个交点并产生四个拟合极值误差e₁、e₂、e₃、e₄。如图4所示，当达到最优拟合时，有e₁=-e₂=e₃=-e₄，由此可建立优化目标函数F=|e₁+e₂|+|e₂+e₃|+|e₃+e₄|+|e₁+e₄|。砂轮的双曲线形状由参数H、a确定，砂轮位置由参数Z₀、X₁、b确定。虽然砂轮的形状和位置由五个参数确定，但拟合曲线只有三个交点，即只能求出其中三个参数。为此，优化计算时可将其中两个参数(X₀，b)作为约束条件，其余三个参数作为设计变量，反映为三个交点的不断移动变化。当F趋近于0时，即达到最优拟合，求得最大拟合误差∆e=max{|e₁-e₂|，|e₃-e₂|，|e₁-e₄|，|e₃-e₄|}。由三个确定的交点可求出三个设计变量，加上两个给定参数，即可确定砂轮的形状和位置。

4 造型误差计算实例

5 结论